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符号長nが奇数であるような巡回符号のパリティ検査行列について
前章とは別の視点から考察する.
前章で見たように, Cを(n,k)-巡回符号とすると,
と書ける.
このとき,
が成り立つ.
とくに
は, nが奇数のときXn-1が重根を持たない
ことから従う.
と書き表したとき,
と書ける.
g(X)の上での既約分解
(すなわち,
の既約元の積に書き表すこと)が,
であるとき,
より,
となる.
ここで,
とおくと,
であることがわかる.
注意 1.1
であることに注意.
例 1.2 (tex2html_wrap_inline$(7,4,3)$-ハミング符号)
X7-1=(X+1)(X3+X+1)(X3+X2+1)
このとき,
を
X3+
X+1の根(すなわち,
)
とすると,
に対して,
が成り立つ. よって,
Cのパリティ検査行列は,
となる.
前章のパリティ検査行列との関係.
より,
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上の対応から,
送信語
を送って,
となったとすると,
となる.
エラー個所が一ヵ所ならば, 唯一つの
iについてのみ
ei=1で,
他の
ejについては
ej=0となるから,
となることが分かる.
誤り訂正手順
- 1.
- 受信語
b=b(X)に対して,
を計算,
- 2.
-
s=ならば, 誤りなし,
- 3.
-
ならば,
b+ei,
で誤り訂正.
考察 1.3
前々章のハミング符号の誤り訂正アルゴリズムと比較せよ.
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Mitsuru Kawazoe
2001-11-14