Next: 巡回符号の生成行列
Up: 巡回符号
Previous: 巡回符号の定義
巡回符号は多項式環の言葉で表現することができる.
を
で定義される線形写像とすると, これは同型写像となる.
これによって, まず,
と
を同一視する.
この同一視において,
での作用Sは,
の方では
「Xをかける」ということに相当する. つまり,
が可換(Sをやってからで移すのと, で移してからXをかけるのとでは結果は同じ)ということである.
ちょっと確認してみよう.
ほらね.
上の同一視のもとで, 巡回符号について次のことが成り立つ.
補題 2.1
上の
による巡回符号
Cの像
は
のイデアルである.
この補題から,
となる.
したがって, 今後はイデアルの性質を調べていくことになるが, その前に,
多項式環のイデアルについての重要な事実を述べておこう.
補題 2.2
は主イデアル環,
つまり, すべてのイデアルは唯一つの元から生成される.
この事実から, (n,k)-巡回符号は次のように表現されることがわかる.
ただし, g(X), q(X)は,
なる多項式である.
Mitsuru Kawazoe
2001-11-14